[Statistics 110] Lecture 16: Exponential Distribution

Exponential Distribution(지수분포)

$X \sim Expo(\lambda)$.

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$f_X(x) = \lambda e^{-\lambda x}$, (x >0), otherwise 0

cdf

$$ F_X(x) = \int_0^x \lambda e^{-\lambda t} dt = 1-e^{-\lambda t} $$

성질

$Y = \lambda X$이면, $Y \sim Expo(1)$.

증명은 아래와 같다

$$ P(Y \le y) = P( X \le \frac y\lambda) = 1-e^{-\lambda\frac{y}{\lambda}} = 1-e^{-y} = cdf \space of \space Expo(1) $$

Expected value (부분적분 사용)

$$ E(Y) = \int_0^{\inf}ye^{-y}dy = 1 $$

Variance

$$ Var(X) = E(Y^2) - (E(Y))^2 = 1 $$

$Expo(\lambda)$의 Expected value와 Variance

$$ X = \frac Y\lambda\\E(X) = E(\frac{Y}{\lambda}) = \frac 1 \lambda \\ Var(X) = Var(\frac{Y}{\lambda}) = \frac {1}{\lambda^2} $$

Memoryless property(무기억성)

지수분포는 memoryless property(무기억성)을 가짐

X는 전화가 온 시점까지의 시각을 나타내는 연속확률변수

전화를 기다리는 상황에서 지금까지 s분을 기다렸어도 0분을 기다렸을 때와 확률이 동일 (새롭게 시작하는것과 동일)

$$ P(X \ge s+t|X \ge s) = P(X \ge t) $$

지수분포 무기억성 증명

$$ X \sim Expo(\lambda) \\ P(X \ge s) = 1- P(X \le s) = e^{-\lambda s}\\P(X \ge s+t|X \ge s) = \frac{P(X \ge s +t, X> s)}{P(X>s)} =\frac{P(X \ge s +t)}{P(X>s)} \\=\frac{e^{-\lambda (s+t)}}{e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t} = P(X \ge t) $$

Conditional expectation(조건부 기댓값)

망각성질(무기억성)을 응용하여 아래와 같이 풀 수 있음

$$ E(X|X>a) = a +E(x-a|X>a) = a+ E(X) = a + \frac 1\lambda $$

 

Reference

[0] https://www.youtube.com/playlist?list=PL2SOU6wwxB0uwwH80KTQ6ht66KWxbzTIo