Deeper Learning

Binomial Distribution Story n번의 독립적인 Bern(p) 시행에서 성공 횟수 Sum of Indicator Random Variables $X = X_1+X_2+...+X_n$ $X_j$는 trial이 성공하면 1, 그렇지 않으면 0으로 2개의 값을 가질 수 있음 $X_j$는 independent identically distributed(i.i.d) 확률분포와 확률변수의 구분 확률변수는 수학적으로 함수 $X_j$는 시행이 성공하면 1, 아니면 0 확률분포는 $X$가 어떻게 다르게 행동할지에 대한 확률을 말함 같은 분포를 가진 확률변수가 여럿 존재 가능 i.i.d condition에서 확률변수들은 같은 분포를 가지지만 다른 값이 될 수 있음 PMF $X$가 특정값을 가질 확률을 수..

LOTUS law of the unconscious statistician (무의식적인 통계학자의 법칙, 이하 LOTUS) 통계학에서 확률변수 $X$의 함수 $g(X)$ 의 분포를 모르는 상황에서도 $g(X)$의 기댓값 $E(g(X))$를 계산할 수 있도록 해주는 theorem Formula 1. discrete random variable X, f_X는 Probability mass function(pmf) 2. continuous random variable $X$, $f_X$는 probability density function(pdf) Example 포아송 확률변수 $X$의 확률 분포의 기댓값, 분산을 구하는 문제, 우선 기댓값을 구해보면 매클로린 급수를 이용할 수 있도록 식을 유도 분산을 구하기..

Universality of Uniform distribution(균등분포의 보편성) Uniform distribution을 사용하여 임의의 확률분포를 만들어낼 수 있는 성질 condition $u \sim Unif[0,1]$, $F$는 원하는 분포의 cdf (단 $F$는 증가함수, 연속함수) $F$는 cdf이므로 0이상 1이하의 값을 가진다. $F$를 cdf로 가지는 확률변수 $X$를 구하는 방법 $X = F^{-1}(u)$ 이면 $X$의 cdf는 $F$를 따름 proof $P(X \leq x) = P(F^{-1}(u) \leq x)$ (가정에 의해) 양변에 역함수를 적용하면 (앞서 언급한 F에 대한 제약에 의해 부등호의 방향은 동일) $P(F^{-1}(u)\leq x) = P(u \leq F(x))$..