[Statistics 110] Lecture 8: Random Variables and Their Distributions

Binomial Distribution

 

Story

• n번의 독립적인 Bern(p) 시행에서 성공 횟수

Sum of Indicator Random Variables

• $X = X_1+X_2+...+X_n$
• $X_j$는 trial이 성공하면 1, 그렇지 않으면 0으로 2개의 값을 가질 수 있음
• $X_j$는 independent identically distributed(i.i.d)

확률분포와 확률변수의 구분

• 확률변수는 수학적으로 함수
  • $X_j$는 시행이 성공하면 1, 아니면 0
• 확률분포는 $X$가 어떻게 다르게 행동할지에 대한 확률을 말함
  • 같은 분포를 가진 확률변수가 여럿 존재 가능
  • i.i.d condition에서 확률변수들은 같은 분포를 가지지만 다른 값이 될 수 있음

PMF

• $X$가 특정값을 가질 확률을 수식으로 나타낸 것
• $P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{(n-k)}$

 

CDF(cumulative distribution function)

• pmf에서 X=k가 사건인것처럼 X ≤ k도 하나의 사건
• $F(X) = P(X\le x)$이면 $F$는 $X$의 cdf

 

Binomial Distribution

두 이항분포의 합

$X+Y \sim Bin(n+m,p)$

• Story 관점: 동전던지기를 X, Y에서 시행하고 성공횟수를 더한 것
• Sum of Indicator Random Variables 관점
  • $X+Y = \sum X_j + \sum Y_i$
  • 위 식은 곧 n+m개의 i.i.d Bern(p)와 같기 때문에 정의에 따라 Bin(n+m,p)
• pmf 관점
  • $X$에 대해 조건을 세우는 방식으로 식을 전개

$$P(X+Y = k) = \sum_{j=0}^{k}P(X+Y=k|X=j)P(X=j) = \sum_{j=0}^{k}P(Y=k-j|X=j)\binom{n}{j}p^jq^{n-j}$$

• 독립의 정의를 활용하고 식을 이어 전개하면

$$=\sum_{j=0}^{k}\binom{m}{k-j}p^{k-j}q^{m-k+j}\binom{n}{j}p^jq^{n-j} = p^kq^{m+n-k}\sum_{j=0}^{k}\binom{m}{k-j}\binom{n}{j}$$

• 이전에 배운 Vandermonde 항등식을 활용하면

$$=p^kq^{m+n-k}\binom{m+n}{k}$$

식을 보면 시행횟수가 m+n, 확률이 p인 이항분포의 pmf와 일치하기 때문에 $X+Y$는 이항분포를 따르는 것이 증명됨

이항분포가 아닌 경우

• 52개 카드에서 5개 카드를 랜덤으로 뽑을 때 에이스 카드 수의 분포. (확률변수 $X$를 ace 카드의 수로 정의)

$$P(X=k) = \frac{\binom{4}{k}\binom{48}{5-k}}{\binom{52}{5}} \space for \space k \space in \space \{0,1,2,3,4\}$$

• 검은 구슬 b, 흰 구슬 w개가 들어있는 상자에서 n개를 뽑을 때 뽑힌 흰 구슬의 개수의 분포 (단 0≤k≤w, 0≤n-k≤b)

$$P(X=k) = \frac{\binom{w}{k}\binom{n}{n-k}}{\binom{w+b}{n}} \space$$

 

Hypergeometric distribution

• 위 카드, 구슬 예제는 비복원 표본추출로 이항분포와 다른 초기하분포
• 복원하지 않기 때문에 각 시행은 독립이 아니며 이항분포가 될 수 없음
• 만약 구슬이 매우 많다면 복원이 미치는 영향이 적어 초기하분포가 이항분포에 더 가깝게 근사될 수 있음

 

Reference

[0] https://www.youtube.com/playlist?list=PL2SOU6wwxB0uwwH80KTQ6ht66KWxbzTIo