[Statistics 110] Lecture 6: Monty Hall, Simpson's Paradox

Monty Hall

하나의 문 뒤에는 자동차, 2개의 문 뒤에는 염소가 있다. 참가자가 하나의 문을 고르고 사회자는 나머지 2개의 문 중에서 염소가 있는 문을 연다. 참가자는 그 뒤 선택할 문을 바꿀 기회가 주어지는데 문을 바꾸는 것이 자동차를 선택할 확률을 높여줄까?

 

수형도

• 참가자가 1번 문을 골랐다고 가정
• 자동차가 1,2,3번 문 뒤에 있을 확률은 각 1/3
• 사회자는 참가자가 고르지 않은 2 or 3번 문을 여는데, 여기에서 위 수형도를 보면 자동차가 1번 문 뒤에 있다면 사회자는 2,3 번 문을 동일한 확률로 열지만 자동차가 3번 문 뒤에 있다면 사회자는 2번 문 밖에 열 수 없다
• “사회자가 2번문을 열었다”라는 조건 하에 각 분기의 확률을 보면
  • 참가자가 1번 문 고름 → 자동차가 1번 문 뒤에 있음 → 사회자가 2번 문을 열었음 = 1/6
  • 참가자가 1번 문 고름 → 자동차가 3번 문 뒤에 있음 → 사회자가 2번 문을 열었음 = 1/3
• 전체 확률공간을 사회자가 2번문을 열었다는 조건이 들어간 상황으로 다시 정의하기 위해 위 2 분기를 Normalize하면 각각 1/3, 2/3 확률
• 따라서 선택한 문을 바꾸면 66% 확률로 자동차를 받을 수 있으나 바꾸지 않으면 그대로 33% 확률이 유지됨

 

Law of Total Probability(LOTP)

전체 확률의 법칙

“자동차가 어디에 있는지 알고싶다”가 wish, 해당 사건으로 LOTP 사용

$S$: Succeed(1번 문을 고른 참가자가 문을 바꿔서 자동차를 얻는 사건)

$D_j$: 문 $j$ 뒤에 자동차가 있는 사건

$P(S) = P(S|D_1) \times \frac{1}{3} + P(S|D_2) \times \frac{1}{3} + P(S|D_3) \times \frac{1}{3}$

차가 있는 사건

자동차가 2, 3번 문 뒤에 있다면 참가자는 문을 바꾸면 1의 확률로 자동차를 얻으나 자동차가 1번 문 뒤에 있다면 참가자는 문을 바꾸면 0의 확률로 자동차를 얻음

$P(S) = 1/3 + 1/3 + 0 = 2/3$

 

Simpson’s Paradox

의사 A

결과 \ 수술종류	심장	붕대
성공	70	10
실패	20	0

의사 B

결과 \ 수술종류	심장	붕대
성공	70	10
실패	8	9

 

수술의 종류가 조건부일 경우

• 심장 수술을 한다면 성공률이 훨씬 높은 A의사를 찾아가야 함
• 붕대를 감는다면 마찬가지로 성공률이 훨씬 높은 A의사를 찾아가야 함

 

비조건부면

• 의사 A는 100개의 수술 중 80개의 수술을 성공한 성공률 80%의 의사
• 의사 B는 100개의 수술 중 83개의 수술을 성공한 성공률 83%의 의사

 

 💡 의사 A가 심장 수술, 붕대 치료 모두 더 성공률이 높은데 전체 수술에 대해서 보면 성공률이 낮다 💡

 

Reference

[0] https://www.youtube.com/playlist?list=PL2SOU6wwxB0uwwH80KTQ6ht66KWxbzTIo 

Statistics 110: Probability