[Statistics 110] Lecture 3: Birthday Problem, Properties of Probability

Birthday Problem

• $k$ 명의 사람이 있을 때 2명의 생일이 같을 확률을 구하라
• 2월 29일 제외
• 출생 계절성 고려하지 않음 (매일 같은 확률로 출생)

 

1 - P(k명의 생일이 모두 다른 경우) = P(2명 이상의 생일이 같을 확률)

P(k명의 생일이 모두 다른 경우) = (365일을 중복없이[비복원추출] k명이 뽑을 확률)

$$\frac{365 \times 364 \times ... \times (365 - k + 1)}{365^k}$$

k = 23명일 때 50.7%, 50명일 때 97%

 

 많은 우연이 하나도 발생하지 않는 상태가 가장 우연한 상태 (생일이 겹치는 2명의 조합의 수 253개 짝이 하나도 발생하지 않음) 

 

 

Non-naive Probability

 

확률 공리 (저번 강의에서 소개)

 

확률함수의 특성

Inclusion-exclusion Principle

deMontmort’s Problem(1713): 카드를 섞고 놓았을 때 위에서부터 카드의 순서가 카드에 쓰인 숫자와 일치할 확률은?

카드 $i$가 쓰인 숫자와 같은 순서에 위치하는 사건을 $A_i$로 정의

 

1이 적힌 카드를 예시로 들면 해당 카드가 가장 처음 위치할 확률은 $\frac{1}{n}$

1이 아닌 다른 카드($n$개)도 동일한 확률을 가진다.

$$A_i = \frac{1}{n}$$

1이 적힌 카드, 2가 적힌 카드가 모두 숫자와 같은 순서에 위치하는 사건 $A_1 \cap A_2$의 확률은

$$\frac{(n-2)!}{n!} = \frac{1}{n(n-1)!}$$

$A_i,A_j$의 조합의 개수는 $\frac{n(n-1)}{2}$.

Inclusion-exclusion Principle에 의해 (오탈자: 셋째 줄 $(-1)^n$ 을 $(-1)^{(n+1)}$로 수정)

 

 

놀라운 점은 카드의 순서와 숫자가 일치할 확률을 구하는 문제에서 자연상수 $e$가 등장

 

Reference

[0] https://www.youtube.com/playlist?list=PL2SOU6wwxB0uwwH80KTQ6ht66KWxbzTIo 

Statistics 110: Probability

[1] https://www.boostcourse.org/ai152/lecture/30895?isDesc=false 

[하버드] 확률론 기초: Statistics 110