[Statistics 110] Universality of Uniform distribution

 

Universality of Uniform distribution(균등분포의 보편성)

Uniform distribution을 사용하여 임의의 확률분포를 만들어낼 수 있는 성질

 

condition

$u \sim Unif[0,1]$, $F$는 원하는 분포의 cdf

(단 $F$는 증가함수, 연속함수)

$F$는 cdf이므로 0이상 1이하의 값을 가진다.

 

$F$를 cdf로 가지는 확률변수 $X$를 구하는 방법

• $X = F^{-1}(u)$ 이면 $X$의 cdf는 $F$를 따름

proof

$P(X \leq x) = P(F^{-1}(u) \leq x)$ (가정에 의해)

 

양변에 역함수를 적용하면 (앞서 언급한 F에 대한 제약에 의해 부등호의 방향은 동일)

 

$P(F^{-1}(u)\leq x) = P(u \leq F(x))$

 

위 식에서 F(x)는 0~1의 값을 가진다. (cdf이기 때문)

 

0~1의 정의역을 가지는 Uniform distribution에서 길이는 곧 확률이 된다.

 

따라서 $P(u \leq F(x))$ 자체가 $F(x)$와 동치

 

$\therefore P(X\leq x) = F(x)$

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Usage

uniform 난수 생성 코드만 있어도 다른 분포의 난수를 생성할 수 있음

Gaussian distribution의 cdf의 inverse에 uniform distribution에서 샘플링한 R.V 를 feeding하고 나온 output을 histogram 등을 통해 visualization하면 Gaussian distribution과 비슷함을 알 수 있다.

 

https://miro.medium.com/max/1400/1*WL6RKoRuchyP0U0KS3CKfA.png

 

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역으로 X~F를 해당 확률변수의 CDF에 input으로 주면 uniform distribution을 얻을 수 있음

 

Reference

[0] Harvard Statistics 110, Lecture 8

 

[1] https://surajregmi.medium.com/random-variables-distributions-and-universality-of-the-uniform-13b85734f731