[Statistics 110] Lecture 30: Chi-Square, Student-t, Multivariate Normal

Chi-Square Distribution(카이제곱 분포)

$V = Z_1^2+...+Z_n^2, \space Z_j \sim N(0,1){i.i.d}$일 때, $V \sim \chi^2{(n)}$.

$\chi^2_{(1)}$은 $Gamma(\frac12,\frac12)$와 같은 분포, $\chi^2$는 $Gamma(\frac n 2,\frac 1 2)$와 같은 분포

t-Distribution(t-분포)

$$Z \sim N(0,1)\\V\sim \chi ^2_{(n)}\\T = \frac{Z}{\sqrt{V/n}} \sim t_n$$

성질

• Symmetric: $-T \sim t_n$.
• n=1이면 코시분포를 따름
• n이 2이상이면 $E(T) = 0$.
• 정규분포와 비슷하지만 더 heavy tailed(극단적인 값이 더 발생)
• n이 크면 표준정규분포와 매우 비슷함

$n\rightarrow \inf, t_n \rightarrow N(0,1)$을 큰 수의 법칙을 사용해서 증명해보면

$$T = \frac{Z}{\sqrt{V/n}} \sim t_n\\ $$

에서 $\frac {V_n}n$은 1로 1의 확률로 수렴하므로 $T \rightarrow Z$도 1의 확률로 성립

Multivariate Normal(다변량 정규분포)

Random Vector $\vec X=(X_1,...,X_n)$에서 모든 t에 대한 선형 결합($t_1x_1+...+t_nx_n$)이 정규분포를 따르면, 다변량 정규분포를 따른다.

예시) $Z,W$가 i.i.d $N(0,1)$일 때 $(Z+2W,3Z+5W)$는 다변량 정규분포를 따른다.

임의의 상수 $s,t$에 대해 선형 결합을 하면

$$s(Z+2W) + t(3Z+5W) = (s+3t)Z + (2s+5t)W \sim N$$

독립인 두 정규분포의 합도 정규분포임을 이전에 증명하였기 때문에 예시에 대한 증명완료

예시) $Z$는 표준정규분포, $S$는 random sign(-1 or 1) 서로 독립일 때, $Z$와 $SZ$는 표준정규분포를 따르지만 둘의 선형결합인 $Z+SZ$는 절반이 0인 분포로 정규분포를 따르지 않는다.

적률생성함수

다변량 정규분포를 따르는 확률변수 $\vec X$의 MGF는 $E(e^ {\vec t\cdot \vec X})$ .

$$E(e^ {\vec t\cdot \vec X}) =E(e^ {t_1\mu_1+...+t_k\mu_k+\frac 12Var(t_1X_1+...+t_kX_k)})$$

다변량 정규분포에서는 비상관관계(공분산이 0)이면 독립이다.

 

 

Reference

[0] https://www.youtube.com/playlist?list=PL2SOU6wwxB0uwwH80KTQ6ht66KWxbzTIo